Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом
Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом
Содержание
Введение
1 Описание объекта в области z-преобразований, переменных состояний
2 Синтез непрерывного регулятора
3 Синтез компенсатора
4 Синтез дискретного регулятора
5 Синтез дискретного компенсатора
6 Формирование интегрального квадратичного критерия
7 Синтез оптимального закона управления
8 Расчёт релейного регулятора
Заключение
ВведениеЗадача синтеза возникает при проектировании системы автоматического регулирования. Она заключается в таком выборе структурной схемы и технических средств ее реализации, при котором обеспечиваются требуемые динамические и эксплуатационные свойства всей системы в целом.Синтез - лишь первый этап проектирования и создания системы.В зависимости от вида исходных данных, принимаемых при проектировании системы, к задачам синтеза можно подходить с различных точек зрения. Если имеется возможность достаточно полной свободы выбора структуры и параметров в пределах физической реализуемости и с учетом наложенных ограничений, то решается задача синтеза оптимальной системы регулирования.Оптимальность - наилучшие свойства системы в смысле некоторого критерия оптимальности (например, наилучшее быстродействие).Задачи синтеза систем регулирования можно разбить на две группы. В задачах первой группы задается только объект управления и требуется определить закон функционирования регулятора в целом. При этом, обычно, предполагается, что полученные при расчетах свойства регулятора могут быть технически реализованы с необходимой точностью. Задачи подобного типа возникают при синтезе систем регулирования промышленных непрерывно функционирующих объектов (химических реакторов, электростанций и пр.).В задачах второй группы в понятие синтеза вкладывается более узкий смысл. При этом рассматриваются задачи выбора и расчета параметров специальных корректирующих устройств, обеспечивающих заданные статические и динамические характеристики системы. При этом предполагается, что основные функциональные элементы системы (исполнительные, измерительные устройства) уже выбраны в соответствии с техническим заданием и вместе с объектом регулирования представляют собой неизменяемую часть системы. Подобная задача возникает чаще всего при проектировании различного рода следящих систем.Разработано большое число в основном приближенных методов синтеза корректирующих устройств. Наибольшее распространение получили графоаналитические методы синтеза, основанные на построении инверсных и логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. При этом, используются косвенные оценки качества переходного процесса: запас по модулю, запас по фазе, частота среза, колебательность - которые можно непосредственно определить по частотным характеристикам.К другой группе относятся аналитические методы синтеза. Для них находится выражение, аналитически связывающее качества с параметрами корректирующего устройства, и определяются значения параметров, соответствующих экстремальному значению функции. К этим методам относится синтез по интегральным критериям качества переходного процесса, а также по критерию среднеквадратичной ошибки.Задача синтеза противоположна задаче анализа. Если при анализе структура и параметры заданы, а ищут поведение системы в заданных условиях, то в данной задаче задание и цель меняются местами. Существуют методы синтеза, при которых задается кривая переходного процесса. Но реализация систем с переходным процессом, заданным чрезмерно жестко, как правило, оказывается довольно трудной: система получается неоправданно сложной и зачастую нереализуемой. Поэтому большее распространение получил метод задания более грубых качественных оценок (таких, как перерегулирование, время регулирования, колебательность), при которых сохраняется большая свобода в выборе детальной формы кривой переходного процесса.Динамические характеристики объектов обычно могут быть аппроксимированы некоторыми типовыми зависимостями. Это позволяет все возможное разнообразие требуемых законов свести к нескольким типовым законам регулирования, которые используются на практике. Следовательно, задача синтеза системы регулирования сводится к выбору подходящего регулятора с типовым законом регулирования и определению оптимальных значений параметров настройки выбранного регулятора.1. Описание объекта в области z-преобразований, переменных состоянийАнализ дискретных систем существенно упрощается, если величины, описывающие поведение системы, рассматриваются в дискретные моменты времени. Поэтому непрерывная функция времени может быть заменена дискретной, значения которой определены только в дискретные моменты времени.Для таких функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа:которое называется z-преобразованием при подстановке , и связывает изображение с оригиналом.Рис. 1. Структура системы управленияПреобразование системы в дискретную область и выбор периода квантования будем проводить с помощью Matlab'а.Чтобы обеспечить заданную погрешность аппроксимации менее 10%, нужно выбрать период квантования так, чтобы он составлял не более 10% от постоянной времени Т. Также, при выборе преиода квантования нужно учитывать значение запаздывания. Выберем период квантования, равным 0.5.
W1=tf([0.9],[20 1],'td',1) % задаем передаточную функциюW2=tf([1],[500 100 1],'td',15) % задаем передаточную функциюWob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системыT=0.5 % время квантования
Wdiskr=c2d(Wob,T,'zoh') % передаточная в дискретной области
Получим значение передаточной функции дискретной системы:Найдем описание объекта в пространстве состояний с помощью Matlab'а.
W1=tf([0.9],[20 1],'td',1) % задаем передаточную функциюW2=tf([1],[500 100 1],'td',15) % задаем передаточную функциюWob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы
[A, B, C]=ssdata(Wob) % матрицы в пространстве состояний
Получим значения матриц:2. Синтез непрерывного регулятораНа практике, применяются следующие регуляторы:П-регулятор.Регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения:k - коэффициент передачи П-регулятора.И-регулятор.Регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально интегралу от отклонения регулируемой величины:Коэффициент пропорциональности k, численно равный скорости перемещения регулирующего органа при отклонении регулируемой величины на единицу ее измерения, называется коэффициентом передачи И-регулятора.ПИ-регулятор.Эти регуляторы перемещают регулирующий орган пропорционально сумме отклонения и интеграла от отклонения регулируемой величины:Постоянная времени Т - постоянная времени интегрирования (время изодрома).В динамике, ПИ-регулятор соответствует системе из двух параллельно включенных звеньев: пропорционального и интегрирующего.ПД-регулятор.Рассматриваемые регуляторы перемещают регулирующий орган пропорционально отклонению и скорости изменения регулируемой величины:Постоянная времени Т характеризует степень ввода в закон регулирования производной. Она называется постоянной времени дифференцирования (временем предварения регулятора). В динамическом отношении, эти регуляторы подобны системе из двух параллельно включенных звеньев: безынерционного и идеального диффиренцирующего. ПИД-регулятор.В динамическом отношении, эти регуляторы подобны системе из трех параллельно включенных звеньев: безынерционного, интегрирующего и идеального дифференцирующего.Структура и параметры настройки регуляторов выбираются исходя из динамических или математических моделей объектов. При определении оптимальных параметров настройки регуляторов промышленных процессов в качестве показателя оптимальности системы регулирования обычно выбирается требование минимума того или иного критерия качества при действии на объект наиболее тяжелого возмущения (или изменении заданного значения регулируемой величины) с учетом добавочного ограничения на запас устойчивости системы.При практических расчетах запас устойчивости удобно характеризовать показателем колебательности системы, величина которого в системах совпадает с максимумом амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы регулирования.Для заданной системы (Рис. 1.) нужно подобрать регулятор, обеспечивающий желаемый показатель колебательности.Допустимое значение показателя колебательности М определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования. В хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1-1,5. Хотя в некоторых случаях допускается значение 2-2,5.В нашем случае, М=1,25Расчет регулятора сводится к следующей методике расчета:Величина параметра регулятора, при которой амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет касаться окружности с заданным М, определяется следующим образом:1. Строится АФЧХ регулируемого объекта, и из начала координат проводится луч под углом к отрицательной вещественной полуоси. 2. Проводится окружность с центром на вещественной отрицательной полуоси, касающаяся одновременно АФЧХ регулируемого объекта и этого луча.В качестве регулятора попробуем использовать ПИ-регулятор. Найдем его параметры с помощью Mat lab'а.
clcclearW1=tf([0.9],[20 1],'td', 1) % задаем передаточную функциюW2=tf([1],[500 100 1],'td', 15) % задаем передаточную функциюWob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы nyquist(Wob)M=1.25;w=0.0001:0.0001:0.3;s=i*w;Kp=3.2;Ki=0.03Wob1=((0.9).*(Kp+(Ki./(s))))./(10000*s.^3+2500*s.^2+120*s+1);re=real(Wob1);im=imag(Wob1);R=M/(M^2-1);C=(M^2)/(1-M^2);x=-1:0.00001:0.4;y1=sqrt(R^2-(x-C).^2);y2=-sqrt(R^2-(x-C).^2);K=tan(asin(1/M));y3=K*x;plot(re, im, x,y1,x,y2,x,y3)
grid on
Изменяя значения Kp и Ki, подберем такие значения, при которых окружность одновременно касается АФЧХ и луча. Это достигается при:Рис. 5. Расчет ПИ-регулятораПромоделируем систему с и Рис.6. Структура объекта с регуляторомПолучим характеристику:Рис. 7. Поведение непрерывного объекта с ПИ-регуляторомПри использовании данного регулятора точность составит что удовлетворяет заданному условиюСледовательно будем использовать ПИ-регулятор с параметрами и Передаточная функция такого регулятора имеет вид:3. Синтез компенсатораДля того, чтобы добиться желаемого качества процесса управления или регулирования (требуемой точности системы и качества переходного процесса), можно изменить структуру системы, введя дополнительные звенья корректирующие устройства (компенсаторы).Основная задача компенсаторов состоит в улучшении точности системы и качества переходных процессов. Систему с компенсатором можно представить в виде:Рис. 8. Система с компенсаторомРассчитать компенсатор можно следующим образом:Условие физической реализуемости компенсатора соблюдено - степень числителя не превышает степень знаменателя.Промоделируем в Simulink систему без учёта компенсатораРис. 9. Структура системы без компенсатораХарактеристика системы будет следующейРис. 10. Поведение системы без компенсатораПромоделируем в Simulink систему с учётом компенсатораРис. 11. Структура системы с компенсаторомХарактеристика системы будет следующей Рис. 12. Поведение системы с компенсаторомХарактеристики системРис. 13.Из Рис. 13 делаем вывод : компенсатор снизил возникшую при введении в систему внешнего воздействия ошибку.4. Синтез дискретного регулятораПредполагается, что ступенчатое изменение задающей переменной происходит в момент времени k=0:?(k)=1 для k= 0,1,2,… .Так как время запаздывания не равно нулю (d?0), то необходимо использовать следующую модель объекта: (2.1)Коэффициенты этой модели удовлетворяют соотношениям: (2.2)На процесс управления наложены теперь следующие ограничения:y(k)=?(k)=1 для k ? ?=m+d,u(k)=u(m) для k ? m.Тогда параметры регулятора: (2.3)Таким образом, получим передаточную функцию апериодического регулятора: (2.4)Отсюда следует, что передаточная функция по задающему сигналу при использовании точной модели объекта будет равна: (2.5)а ее характеристическое уравнение: (2.6)что говорит об апериодическом характере переходного процесса.Будем рассчитывать регулятор, включенный последовательно с объектом, с помощью Matlab'а.
W1=tf([0.9],[20 1],'td', 1) % задаем передаточную функциюW2=tf([1],[500 100 1],'td', 15) % задаем передаточную функциюWob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системыT=1 % время квантованияWdiskr=c2d(Wob,T,'zoh') % передаточная в дискретной области [Numer Denom]=tfdata(Wdiskr, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя m=length (Numer)Denom1=Denom(2:m)Numer1=Numer(2:m)q0=1/sum(Numer1)for i=1:(m-1) q(i)=q0*Denom1(i) p(i)=q0*Numer1(i)endQ=[q0 q] % матрица коэффициентов числителя P=[1 -p] % матрица коэффициентов знаменателя
Wr=tf(Q, P, T) % передаточная функция регулятора
Получим значение передаточной функции дискретного регулятора:Посмотрим на поведение системы при использовании такого регулятора. Промоделируем поведение системы в Simulink'e. Рис. 12. Структура системы с дискретным регуляторомПолучим следующий график:Рис. 13. Поведение системы с дискретным регуляторомКак видно из полученного графика, установившаяся ошибка и время перерегулирования отсутствует. Время регулирования составляет 3 такта.Таким образом, произведен синтез дискретного регулятора. 5. Синтез дискретного компенсатораСистему с компенсатором можно представить в виде:Рис. 14 Система с компенсаторомТаким образом, рассчитать компенсатор можно следующим образом:Рассчитаем дискретный компенсатор с помощью Matlab'а.
W1=tf([0.9],[20 1],'td', 1) % задаем передаточную функциюW2=tf([1],[500 100 1],'td', 15) % задаем передаточную функциюWf=tf([0.7],[10 1]) % задаем передаточную функциюWob=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системыT=1 % время квантованияWdiskr=c2d(Wob,T,'zoh') % передаточная в дискретной области W1d=c2d(W1,T,'zoh') % передаточная в дискретной областиW2d=c2d(W2,T,'zoh') % передаточная в дискретной областиWfd=c2d(Wf,T,'zoh') % передаточная в дискретной области[Numer Denom]=tfdata(Wdiskr, 'v') % находим числитель и знаменатель m=length (Numer)Denom1=Denom(2:m)Numer1=Numer(2:m)q0=1/sum(Numer1)for i=1:(m-1)
q(i)=q0*Denom1(i)
p(i)=q0*Numer1(i)endQ=[q0 q] % матрица коэффициентов числителя P=[1 -p] % матрица коэффициентов знаменателя Wr=tf(Q, P, T) % передаточная функция регулятора Wkomp=(Wfd)/(Wr*W1d) % передаточная функция компенсатора[Nk Dk]=tfdata(Wkomp, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя[Nf Df]=tfdata(Wfd, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя [N1 D1]=tfdata(W1d, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя
[N2 D2]=tfdata(W2d, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя
Получим значение передаточной функции дискретного компенсатора:Посмотрим на поведение системы при использовании такого компенсатора. Промоделируем поведение системы в Simulink'e.Рис. 15. Система без компенсатораПолучим следующую характеристику:Рис. 16. Поведение системы без дискретного компенсатораС дискретным компенсатором система примет вид:Рис. 17. Система с компенсаторомИ характеристика будет следующей:Рис. 18. Поведение системы с дискретным компенсаторомКак видно из характеристик, полученный дискретный компенсатор достаточно хорошо компенсирует возмущение.6. Формирование интегрального квадратичного критерия
Любой критерий оптимальности есть аналитическая оценка оптимизируемого качества системы, зависящая от её параметров, задающих x и возмущающих f воздействий на объект управления u. Таким образом, критерий оптимальности выражается в виде функционала J(u), зависящего от функции управления, а оптимальное управление Uопт определяется как функция, реализующая экстремум критерия качества, т. е. функционал J(u).
Изначально объект задан в виде:
Рисунок 19 - Исходная модель объекта
Имеем систему, которая описывается моделью в области переменных состояния:
A, B, S - постоянные матрицы;x - ошибка по каждой из координат и равна:
Необходимо построить систему, которая обеспечит стабилизацию этих координат , т.е. сформировать оптимальный закон управления, минимизирующий функционал качества. Будем использовать квадратичный критерий вида:
Поскольку система имеет не первый порядок, то будем использовать квадратичный функционал, который примет вид:
7.Синтез оптимального закона управления
Для начала необходимо перейти к модели переменных состояний. Для этого необходимо избавиться от запаздывания.
Разобьем запаздывание на 4 равных:
.
Разложим экспоненту в ряд, ограничиваясь двумя первыми членами:
Таким образом, наше исходное запаздывание можно представить в виде четырех последовательно соединенных блоков и переходить в область переменных состояний от следующей модели:
Рис.20.Вариант системы с учетом возмущающего воздействия и запаздывания
Передаточной функцию второй части объекта, в знаменателе содержит полином второго порядка, представим его в виде произведения двух полиномов первого порядка:
Таким образом, наше исходное запаздывание можно представить в виде четырех последовательно соединенных блоков и переходить в область переменных состояний от следующей модели:
На основе полученных дифференциальных уравнений запишем матрицы A,B,S.
A=
C, D - единичные матрицы, служат в качестве весовых коэффициентов. B - управляющего воздействия, S - матрица возмущающего воздействия.
Функцию ? примем в виде:
где R- положительно определенная симметричная матрица
Воспользуемся уравнением оптимальности Беллмана:
,
Подставляя производные от ? и в формулу (4.9), получим:
Оптимальный закон управления, минимизирующий выражение в скобках, равен:
Подставляя полученный закон управления в функциональное уравнение Беллмана, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных состояния, находим уравнения для нахождения матриц Rи L:
Видно, что в первом уравнении системы неизвестной является только матрица R, после её нахождения, на основании второго уравнения системы, можно найти матрицу L, которая представляет собой матрицу коэффициентов обратной связи по возмущению.
И так рассчитаем оптимальный регулятор, для этой цели используем математический пакет MatLab.
clc,clear,echo on
clc,clear,echo on
% Расчёт оптимального регулятора
% задание матрицы коэффициентов при переменных состояния
% матрица коэффициентов обратной связи по возмущению
L=G*S*(-G*B-A')
В результате получаем коэффициенты обратной связи по переменным состояния:
G1= 0.5089 G5= 0.0139 G9= 0.0001
G2= 0.0175 G6= 0.0033
G3 = 0.0968 G7= 0.0012
G4= 0.6909 G8= 0.0003
Матрица L имеет вид
,
Построим модель для проверки работы рассчитанного регулятора.
Рис.21. Модель системы с оптимальным регулятором
Получим следующий график переходного процесса:
Рис.22.
Из рисунка можно сделать заключение о том, что регулятор осуществляет качественное управление, так как обеспечивает незначительную статическую ошибку (? = 0.03).
8. Расчёт релейного регулятора
Реальные автоматические системы требуют при рассмотрении учитывать всякого рода нелинейности. Для элементов, содержащих нелинейности, не выполняется принцип суперпозиции. Это, в свою очередь, ограничивает возможность применения преобразования Лапласа и Фурье.
Нелинейная система - система, содержащая хотя бы одно нелинейное звено, т. е. описываемое нелинейным уравнением. Особые свойства нелинейных систем широко используются в технике. На этих свойствах основано генерирование электромагнитных колебаний, выпрямление переменного тока, умножение и деление частот. По динамическим качествам нелинейные автоматические системы во многих случаях превосходят линейные системы.
Простейшим видом нелинейных корректирующих звеньев являются корректирующие звенья с нелинейной статической характеристикой.
Если пользоваться частотным описанием таких нелинейных динамических корректирующих звеньев (на основе гармонической линеаризации), то их назначение можно определить следующим образом. Во-первых, они применяются для получения определенной желаемой зависимости частотных характеристик от амплитуды сигнала и тем самым для получения различной реакции системы на воздействие разной величины или, наоборот, для устранения нежелательных таких зависимостей, обусловленных имеющимися в системе нелинейностями основных звеньев. Во-вторых, такие корректирующие звенья применяются для преодоления той жесткой зависимости между амплитудной и фазовой частотными характеристиками, которая существует в линейных системах, с целью независимой корректировки каждой из этих характеристик.
Расчет системы с учётом нелинейного элемента:
Заменим в системе ПИ-регулятор на нелинейный элемент. В качестве нелинейного элемента возьмём идеальное реле, статическая характеристика звена изображена на рисунке 23.
Рис.23. Идеальное реле
Чтобы реализовать данный регулятор в заданной системе автоматического управления, требуется рассчитать значения параметра с.
Проанализируем работу системы с нелинейной характеристикой и без неё в Simulink, а затем найдём параметры которые наиболее оптимально обеспечивают качество переходного процесса. На вход системы будем подавать единичное ступенчатое воздействие:
Рис.24. Сравнение работы нелинейной системы с исходной
Получим следующие графики
Рис.25. Работа системы с релейным регулятором и без него
Из переходных характеристик видно, что переходный процесс не выходит на установившееся значение равное единице. Следовательно надо подобрать значение параметра , удовлетворяющее данному условию, а также учесть амплитуду автоколебаний возникающих при желаемом параметре .
Для нахождения значений параметра будем использовать графический метод гармонической линеаризации. Периодическое решение линеаризованной системы получается при наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары чисто мнимых корней. Тогда в соответствии с критерием Найквиста можно записать:
Применительно к нашему нелинейному элементу передаточная функция, полученная путём гармонической лианеризации, будет иметь следующий вид:
где , а
Построим амплитудно-фазовую характеристику заданной разомкнутой системы в комплексной плоскости. Графическую зависимость, которая соответствует идеальному релейному регулятору, можно и не строить, т.к. передаточная функция идеального реле не содержит мнимых составляющих. Следовательно графическая зависимость будет линейно проходить вдоль вещественной оси координат.
clc;clear;cla;
A=0:0.001:5;
C=0:0.001:5;
Wnon1=4*C./3.14.*A
Z=-1./Wnon1;
Re=real(Z);Im=imag(Z);
W1=tf([0.9],[20 1],'td',1);
W12=tf([1],[500 100 1],'td',15);
W2=W1*W12
figure(1);nyquist(W2);
hold on
figure(1);plot(Re,Im)
Рис. 26 Анализ точки пересечения АФЧХ линейной и нелинейной части системы
Из рис 26. мы определяем координату по вещественной оси точки пересечения амплитудно-фазовой характеристики линейной части и графической зависимости нелинейной части системы управления:
В соответствии с критерием Найквиста
Рассчитаем параметр с:
Амплитуду гармонических колебаний принимаем равным значению желаемой установившейся ошибки. После расчёта получаем значение параметра
Построим в Simulink релейный регулятор с найденными параметрами
clc;
clear;
c=0.177;
C1=1/0.9+c;
C2=1/0.9-c;
Рис.27. Моделирование нелинейного регулятора
Получим следующий график
Рис.28. Переходный процесс при использовании нелинейного регулятора
Как видно из графика переходного процесса: имеют место устойчивые автоколебания, амплитуда которых не превышает значения установившейся ошибки равной 3%, заданной по заданию. Следовательно, полученный регулятор на основе нелинейного звена удовлетворяет заданным условиям.
Структура объекта с регулятором
Структура системы без компенсатора
Характеристика системы будет следующей:
Поведение системы без компенсатора
Структура системы с компенсатором
Характеристика системы будет следующей:
Поведение системы с компенсатором
Структура системы с дискретным регулятором
Получим следующий график:
Поведение системы с дискретным регулятором
Система без дискретного компенсатора
Система без дискретного компенсатора
Получим следующую характеристику:
Поведение системы без дискретного компенсатора
Система с дискретным компенсатором
Характеристика будет следующей
Поведение системы с дискретным компенсатором
Модель системы с оптимальным регулятором
Получим следующий график переходного процесса
Моделирование нелинейного регулятора
Переходный процесс при использовании нелинейного регулятора
Заключение
В данной курсовой работе был выполнен расчет дискретного регулятора, обеспечивающего максимальную скорость переходного процесса. Предварительно система была переведена в дискретный вид.
Далее был рассчитан дискретный компенсатор возмущающего воздействия. Для системы также был разработан оптимальный регулятор по переменным состояния и рассчитан наблюдатель состояния этих переменных.
Следует отметить, что оптимальные системы крайне чувствительны к возмущениям, кроме того, наблюдатель должен обладать быстродействием в 2-4 раза более высоким, чем остальная часть системы, что не позволяет реализовать его для высокоскоростных процессов. По этим причинам на практике оптимальные системы реализуются лишь частично.
Отметим также, что в настоящее время для целей синтеза систем автоматического регулирования используются электронные вычислительные машины, позволяющие производить полное или частичное моделирование проектируемой системы. Кроме того, все современные системы управления, в следствии всё возрастающих вычислительных и логических возможностей современных микропроцессоров, выполняются на останове цифровой техники.