1. Получить передаточную функцию разомкнутой системы W(p)
Вывод передаточной функции производится вручную любым из методов алгебраических и структурных преобразований блок - схемы.
Перенесём средний сумматор против хода сигнала, преобразуем при этом схема станет:
Заменим звено с единичной ООС на эквивалентное:
Перенесём правый сумматор против хода сигнала, переставим местами сумматоры и получим звено суммы и звено с отрицательной обратной связью их эквивалентная передаточная функция:
2. Исследовать устойчивость разомкнутой системы от буквенного параметра методами Гурвица и Михайлова
Метод Михайлова:
Запишем характеристический полином системы:
D(p)=11000kp3+ (100+1540k)p2+ p(4+154k)+11k+1
D(p)=-11000jw3- (100+1540k)w2+ jw(4+154k)+11k+1
U(w)=-(100+1540)w2+11k+1
V(w)= -11000jw3 + jw(4+154k)
Для того, чтобы система находилась на границе устойчивости, необходимо чтобы:
Корень второго уравнения w=0 отбрасываем, т.к. для нахождения системы на границе устойчивости годограф Михайлова должен пройти через начало координат при w= 0.
Тогда из второго уравнения определяем
Подставим в первое и получим
1452k2 + 132k+5>0
тогда:
Метод Гурвица:
Запишем характеристический полином системы:
D(p)=11000kp3+ (100+1540k)p2+ p(4+154k)+11k+1
В общем виде
D(p) =a3p3+a2p2+a1p+a0
Так как система имеет третий порядок, то она будет находиться на границе устойчивости при равенстве нулю выражения:
a1a2-a0a3= (4+154k)*(100+1540k) -11000k*(11k+1)=0
или 1452k2 + 132k+5>0
что одинаково с выше полученным уравнением,
3. Получить передаточную функцию W(p) системы, замкнутой единичной отрицательной обратной связью
4. Исследовать устойчивость замкнутой системы от буквенного параметра методам Гурвица. Получить области устойчивых и неустойчивых значений параметра в классе вещественных чисел
Метод Михайлова:
Запишем характеристический полином системы:
Для того, чтобы система находилась на границе устойчивости, необходимо чтобы:
w2 =
512k2 + 1137k+5>0
Метод Гурвица:
Запишем характеристический полином системы:
В общем виде
D(p) =a3p3+a2p2+a1p+a0
Так как система имеет третий порядок, то она будет находиться на границе устойчивости при равенстве нулю выражения:
6. Для каждого значения параметра из набора построить частотные характеристики, необходимые для исследования зависимости устойчивости замкнутой системы от параметра по критериям Найквиста и Михайлова
В общем виде
D(p) =a3p3+a2p2+a1p+a0
Годограф Михайлова построим по формулам c помощью пакета MAPLE:
Из графика видно, что гадограф Михайлова, начавшись с положительной действительной оси обходит последовательно 3 квадранта против часовой стрелки, проходя через ноль, следовательно замкнутая система находится на границе устойчивости
Проведем анализ при k2= -0,0044 по критерию Найквиста с помощью пакета MatLab:
Из рисунка видно, что АФХ системы проходит через точку (-1;j0) , следовательно, замкнутая система на границе устойчивости.
Теперь рассмотрим точку
Метод Михайлова:
Из графика видно, что годограф Михайлова, начавшись с положительной действительной оси обходит последовательно 3 квадранта против часовой стрелки, следовательно, замкнутая система устойчива.
Проведем анализ k4 = -10 по критерию Найквиста с помощью пакета MatLab:
Из расположения корней на комплексной плоскости видно, что система не имеет корней с положительной вещественной частью, а АФХ системы не охватывает точку (-1;j0) , следовательно, замкнутая система устойчива.
Исследуем точку
Метод Михайлова:
Из графика видно, что годограф Михайлова, начавшись с положительной действительной оси не обходит последовательно 3 квадранта против часовой стрелки, следовательно, замкнутая система неустойчива.
7. Получить оценки качества временных характеристик разомкнутой системы