Прохождение случайного сигнала через дискретную и нелинейную системы
Прохождение случайного сигнала через дискретную и нелинейную системы
2
Предмет:
Статистическая динамика систем автоматического управления
тема:
Прохождение случайного сигнала через дискретную и нелинейную систему. Прохождение случайного сигнала через дискретную систему
Рассмотрим дискретную систему, схема которой представлена на рис.1.
x y
Rxx() Ryy[nT]
Sxx() S*yy()
Рис. 1
Корреляционная функция выхода равна
(1)
где (2N+1) - число отсчетов. Определим соотношения для спектральных плотностей входного и выходного сигнала. Выполним дискретное преобразование Фурье
С учетом
получим выражения для спектральных плотностей
(2)
Корреляционные функции равны:
(3)
Статистические характеристики сигналов в дискретных системахДля дискретных систем можно использовать методы статистической динамики, разработанные для непрерывных систем с учетом некоторых особенностей.Основной временной характеристикой непрерывной системы при случайных воздействиях является корреляционная функция (4)Для дискретных систем она представляет решетчатую функцию (5)Среднее квадратичное отклонение или дисперсия (8.6)Преобразования Фурье для непрерывных и дискретных систем (7)Примеры решений задачПример 1. Для заданной спектральной плотности непрерывного сигнала определить дискретную спектральную плотность. Определить .Решение:1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию2. Определим дискретную корреляционную функцию3. Определим дискретную спектральную плотность4. Определим дискретную спектральную плотность в форме z - преобразования, выполнив подстановку z = epT.Проверка: Определим дискретную корреляционную функциюСпектральная плотность равнаТак как корреляционная функция является четной тоПример 2. Определить дискретную спектральную плотность и корреляционную функцию выходного сигнала для заданной системы (рис.3), если спектральная плотность входного сигнала имеет вид x y Rxx() Ryy[nT] Sxx() S*yy() Рис. 3Решение: Для заданной передаточная функция дискретной системы равнаОпределим дискретную спектральную плотность и корреляционную функцию выходаАналогично определим дискретную корреляционную функцию выхода для левой ветвиТак как корреляционная функция является четной, тоПример 3. Определить дискретную спектральную плотность и корреляционную функцию выходного сигнала для заданной системы (рис.4), если корреляционная функция входного сигнала имеет вид x y Rxx() Ryy[nT] Sxx() S*yy()Рис. 4Решение: Определим дискретную передаточную функциюДля заданной корреляционной функции входного сигнала дискретная спектральная плотность равна:Определим дискретную спектральную плотность и корреляционную функцию выходаТак как корреляционная функция является четной тоПример 4. Определить дискретную спектральную плотность для заданной системы (рис.5), если корреляционная функция входного сигнала имеет вид x u y _ Rxx() Ryy[nT] Sxx() S*yy()Рис.5Решение: Спектральная плотность равнаПример 5. Для заданной системы (Рис.6) определить, если а алгоритм функционирования цифровой части описывается уравнением: x y -Рис.6Решение: В соответствии с алгоритмом функционирования цифровой части запишем его передаточную функциюИсходную сему можно представить в виде (рис.7)Рис.7Определим передаточную функцию разомкнутой системы Определим передаточную функцию замкнутой системыСпектральной плотности непрерывного сигнала соответствует дискретная спектральная плотность (см. пример 1)Спектральная плотность выходного сигнала равна:Прохождение случайного сигнала через нелинейную системуВ статистической динамике линейных систем используются методы усреднения по времени (корреляционные функции и спектральные плотности), в статистической динамике нелинейных систем используют методы усреднения по множеству (законы распределения).Рассмотрим нелинейное безинерционное звено с заданной характеристикой z = (x), на вход которого подается случайный сигнал x (t) с заданным законом распределения f (x) (рис.8)Определить закон распределения f (z).Допустим, характеристика нелинейного элемента является монотонной, а плотность вероятности с нормальным распределением (рис.9а, б). а) б)Рис.9Каждому значению x соответствует определенное значение z. Рассмотрим некоторую область] x1, x1+ dx [P (x1 < X <x1+ dx) = f (x) dx;P (z1 < Z <z1+ dz) = f (z) dz.Из условия равенства вероятностей принадлежности сигнала на входе области x1 < X <x1+ dx и сигнала на выходе области z1 < Z <z1+ dz можно определить f (z)f (x) dx = f (z) dz; f (z) =f (x) dx/dz.Рис.10Пример 9.1. На вход нелинейного звена с заданной характеристикой поступает случайный сигнал с симметричным нормальным распределением (рис.10). Определить плотность распределения сигнала на выходе звена. Нормальное центрированное (симметричное) распределение имеет видПлотность распределения сигнала на выходе звена можно определить из соотношенияПри изменении входной величины - < x< , выходная величина изменяется в пределах 0 < z < , т.е. каждому значению x соответствует два значения z, поэтому можно записатьЕсли , то при этом можно записать выражение для плотности распределения на выходе нелинейного звенаЛитература
1. Вероятностные методы в вычислительной технике. Под ред.А.Н. Лебедева и Е.А. Чернявского - М.: Высш. Шк., 1986. - 312 с.
2. Гальперин М.В. Автоматическое управление Изд-во: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2004с. - 224с.
3. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред.А. А. Красовского - М.: Наука, 1987. - 712 с.
4. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. Ч1/Под ред.А. А. Воронова - М.: Высш. Шк., 1986. - 367 с.