по курсу Системный анализ и теория сложных систем управления
Введение
Проблема модернизации системы управления смесительного бака с целью улучшения его техника - экономических показателей требует решения следующих задач.
Исследование свойств технологического агрегата как многомерной системы для чего необходимо провести эквивалентное и аппроксимационое преобразование модели; провести анализ качественных и количественных свойств системы; идентифицировать многомерную математическую модель по данным эксперимента.
Конструирование многомерных регуляторов для рассматриваемого смесительного бака:
П. - регулятор, апериодический регулятор, децентрализованный регулятор, надежный регулятор, блочно - иерархический регулятор, регулятор для билинейной и для нелинейной модели, программный регулятор.
Оценка качества в замкнутой автоматической системы регулирования и выбор наилучшего типа регулятора.
1.Исследование свойств технологического агрегата как многомерной системы
1.1Многомерная математическая модель агрегата
1.1.1 Нелинейная модель агрегата
Вывод нелинейной модели агрегата. На примере рассмотрим конкретную техническую систему - смесительный бак:
Рисунок 1. Модель бака
F1,F2,F - потери жидкости на истоке и притоке системы, м3/с;
C1,C2,C - концентрация на истоке и притоке системы, Кмоль/м3;
h- уровень жидкости в баке, м;
S- площадь бака,м2;
V- объем жидкости в баке,м3;
Запишем уравнение системы в стационарном (установленном) состоянии, когда приток равняется истоку (уравнение материального баланса):
F10+F20-F0=0 ; C1,
где индекс 0 означает установившееся состояние.
Записавши условия баланса кинетической и потенциальной энергии на выходе из бака (имеется в виду, что жидкость вытекает самостоятельно)
,
где
p - плотность жидкости, кг/м3;
w - скорость истока, м/с;
q - ускорение свободного падения,q=9.81 м/с2;
и допуская, что
d - диаметр выходного трубопровода, м.
Получим:
,
,
где
k - коэффициент.
При изменении потерь в системе происходит накоплении вещества и переход до нового установленного состояния. Этот переходный процесс описывается дифференциальными уравнениями
Где dv/dt - приращение объема жидкости, - прирост массы жидкости.
Приведем эту систему в стандартном состоянии:
Обозначим:
- изменение во времени отклонения потери от номинального по отношению к первому каналу.
- изменение во времени отклонения потери от номинального по отношению ко второму каналу.
- изменение во времени отклонения объема от номинального в баке;
- отклонение концентрации от номинального значения;
- изменение потерь на выходе;
- изменение концентрации на выходе.
1.1.2 Запишем нелинейную модель в стандартной форме
Рассмотрим наполнение бака от 0 до номинального значения расхода с учетом прироста, приданного в линеаризованной модели. Таким образом, рассмотрим скачок u1=0,03; u2=0.
Обозначим , уравнение бака запишем в виде системы:
Подставляя и u=0.063, найдем время, которое соответствует указанным значениям. Сведем результаты в таблицу.
Таблица 1. Линеаризация системы по первому выходу
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y1
0.251
0.252
0.253
0.254
0.255
0.256
0.257
0.258
0.259
0.26
t
0
0.841
1.785
2.86
4.106
5.584
7.402
9.753
13.081
18.793
Т.к. нет аналитической зависимости , используем ее кусочно-линейную аппроксимацию, представляя на промежутке от до функцию как . Тогда,
Занесем полученные значения в таблицу:
Таблица 2 Результаты промежуточного расчета
a
0.00119
0.00106
0.00093
0.0008
0.00068
0.00055
0.00043
0.0003
0.00018
b
0.251
0.252
0.253
0.254
0.255
0.256
0.257
0.258
0.259
Полученные значения занесем в таблицу:
Таблица 3. Линеаризация системы по второму выходу
y2
3.2012735
3.2011172
3.2009393
3.2007371
3.2005089
3.2002573
3.1999954
3.1997612
3.1996304
t
0
0.841
1.785
2.86
4.106
5.584
7.402
9.753
13.081
1.1.3 Получение квадратичной модели
Уравнение квадратичной системы имеет вид:
Матрицы с подстановкой номинального режима:
1.1.4 Запись билинейной модели
Уравнение билинейной системы записывается в виде
Приняв допущение, что критерий оптимальности в форме О.А. Красовского
регулятор определяется по зависимости
Где матрица определена как
1.1.5 Линеаризованная модель
Линеаризуем зависимость , разложив ее на ряд Тейлора.
С учетом ранее изложенного запишем:
; (т.к. ), где ;
Припустив в случае остатка . Тогда, подставив производную , получим
Представим систему в матричной форме:
Тогда матрицы А и В запишутся в виде
,
Для определения матрицы С необходимо установить связь между векторами x и y. Т.к. , , то
; , то
Тогда
Система будет иметь вид
Коэффициенты модели системы:
1.1.6 Модель в дискретном времени
Система в дискретном времени имеет вид:
dt= 24 c.
Зададим , , получим значения на выходах дискретной системы.
Таблица 4 Значение выходов дискретной системы
Возмущение
Реакция выхода системы y(t)
u1=0.01
u2=0
y1
y2
0
0
0.00384
-0.00254
0.00624
-0.00352
0.0077
-0.03896
0.00859
-0.004038
0.00913
-0.00409
0.00947
-0.00411
время t, с
0
12
24
37
49
61
74
1.1.7 Преобразование модели в форме Ассео
Внешне связное форму получаем из матрицы передаточных функций
1.1.8 Вычисление МПФ системы
;; ; n=2; i=1;
1.1.9 Структурные схемы системы в исходной форме, форме Ассео, ВСП
Рисунок 1. - Структурная схема в исходной форме
Рисунок 2. - Структурная схема в форме Ассео
Рисунок 3. - Структурная схема в форме ВСП
1.1.10 Линеаризованнаямодель в непрерывном и дискретном времени с датчиками и ИМ
a)
Рисунок 4. - Структурная схема системы в непрерывном времени
б) в дискретном времени
Рисунок 5. - Структурная схема системы в дискретном времени
1.1.11 Модель с генератором возмущений
Соединив последовательно модель шумов с моделью системы, в общем случае запишем новою модель системы в виде
w1=w2=100; g1=g2=0.02
где - белый шум
1.1.12 Условие правомерности децентрализации
Система в форме Ассео:
Для децентрализованной системы
Спектральная норма матрицы С', то есть максимальное сингулярное число матрицы:
Спектральная норма матрицы F:
Погрешность составляет:
Можно предположить, что децентрализация является допустимой. Децентрализованная модель запишется в виде:
1.2Анализ качественных свойств системы
а)
Следовательно, матрица является гурвицевой.
б)
max s1(A)=||A||2= 0.081<1
Следовательно, матрица А является нильпотентной.
Проверить, является ли система (А, В, С) постоянной, управляемой, наблюдаемой, идентифицируемой с вектор - столбцом х = (1; 1.25), параметрически инвариантной, минимальнофазовой, расцепимой, астатической.
а) постоянство:
Следовательно, система является постоянной.
Следовательно система является постоянной.
б) управляемость:
;
По первому входу:
Система управляема по первому входу.
По второму входу:
Система управляема по второму входу.
в) наблюдаемость:
Система наблюдаема.
г) идентифицированость
Система идентифицируема.
д) параметрическая инвариантность:
Система не инвариантна относительно отклонения dA.
Система не инвариантна относительно отклонения dB.
Система не инвариантна относительно отклонения dС.
е) минимальнофазовость и астатичность:
система является минимальнофазовой и астатической.
ж) расщепление:
.
1.3Исследование процессов в системе и анализ количественных свойств системы
1.3.1 Построение графиков кривой разгона непрерывной системы
Построение графика решения у(t) для системы {А, В, С}, если и
Таблица 5 Значение выходов непрерывной системы
Возмущение
Реакция выхода системы y(t)
u1=0
u2=0,01
Y1
Y2 10-3
0
3.874
6.247
7.701
8.591
9.137
9.471
9.676
9.802
9.878
0
-2.548
-3.523
-3.896
-4.038
-4.093
-4.114
-4.122
-4.125
-4.126
u1=0,01
u2=0
Y1
Y2
0
3.874
6.247
7.701
8.591
9.137
9.471
9.676
9.802
9.878
0
0.023
0.03
0.034
0.035
0.035
0.036
0.036
0.036
0.036
время t, с
0
12
24
37
49
61
74
86
98
111
Рисунок 6 - Реакция первого выхода на возмущения u1(t)
Рисунок 7 - Реакция второго выхода на возмущения u1(t)
Рисунок 8 - Реакция первого выхода на возмущения u2(t)
Рисунок 9 - Реакция второго выхода на возмущения u2(t)
1.3.2 Построение графиков кривой разгона дискретной системы
Система в дискретном времени имеет вид:
dt=24 c.
Зададим , , получим значения на выходах дискретной системы, которые совпадают с расчетом задания в п.4.
Таблица 6 Значение выходов дискретной системы
Возмущение
Реакция выхода системы y(t)
u1=0.01
u2=0
y1
y2 10-3
0
0
3.874
6.247
7.701
8.591
9.137
9.471
9.676
9.802
9.878
0
0
-2.548
-3.523
-3.896
-4.038
-4.093
-4.114
-4.122
-4.125
-4.126
такт
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рисунок 10 - Реакция выходов системы на возмущения u (t)
1.3.3 Построение графиков кривой разгона нелинейной системы
Данные для построения графиков получены в пункте 1.1.2
Для первого выхода пользуемся таблицей 1. Получившиеся графики можем сопоставить с графиками полученным в пункте 1.3.1, введя поправку на начальное значение параметра
Рисунок 11 - Реакция первого выхода на возмущения u1(t) в пункте 1.3.1
Рисунок 12 - Реакция первого выхода на возмущение для линеаризованной системы
Легко видеть, что эти график совпадают, что говорит о том, что линеаризация по первому выходу проведена на приемлемом уровне
Рисунок 14 - Реакция второго выхода на возмущения u1(t) полученного в пункте 1.3.1
Рисунок 13 - Реакция второго выхода на возмущения для линеаризованной системы
В данном случае имеет место погрешность которую можно связать с ошибкой вносимой кусочно - линейной аппроксимации.
1.3.4 Установившиеся состояния системы
Вычислить постоянное значение состояния системы в условиях
Т.к. установившееся значение предполагает отсутствие динамики, то систему можно записать в следующем виде
1.4Идентификация многомерной математической модели по данным эксперимента
1.4.1Активная идентификация
Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1. провести реализацию системы.
Запишем систему в виде:
Подавая импульс по первому входу, рассчитаем:
Теперь имея экспериментальные данные, сгруппировав их в матрицы H и H1 можем приступить к их обработки.
Из собственных векторов от () и () построим:
Для проверки идентификации найдем коэффициент передачи системы
Коэффициент передачи, вычисленный по исходным матрицам
Можно сделать вывод о том, что система идентифицирована, верно
1.4.2Пассивная идентификация
Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1. провести пассивную идентификацию системы, предполагая, что вектор входа изменяется соответственно таблице:
Таблица 7 Значение вектора входа для пассивной идентификации.
Такт, n
0
1
2
3
4
5
U(n)
0.01
0
0
0.04
0
0
0
0.01
0.02
0
0.03
0
Используя матрицы системы в дискретной форме для заданных значений вектора входа, рассчитаем значения вектора выхода
Результаты расчета сведем в таблицу:
Такт, n
1
2
3
4
5
6
y(n)
0.003935
0.006321
0.012
0.023
0.026
0.016
-0.0026
0.022
0.053
0.0091
0.071
0.026
Используя данные эксперимента (Таблица 8) можем приступить непосредственно к определению параметров идентифицированной системы
Тогда
Для проверки идентификации найдем коэффициент передачи системы
Система идентифицирована, верно
2. Конструирование многомерных регуляторов, оптимизирующих динамические свойства агрегата
2.1Конструирование П. -регулятора, оптимизирующего систему по интегральномуквадратичному критерию
Регулятор состояния, который оптимизирует систему по критерию:
Определяется по соотношениям:
P=LR1(A,B,Q,R);
При этом Q=R=I
Т.к. матрица С. является инвертированной, для образования регулятора выхода нет необходимости конструировать наблюдатель состояния - недосягаемое состояние просто вычисляется по формуле .
Следовательно, регулятор выхода имеет вид
2.2Конструирование компенсаторов заданий и измеряемых возмущений
Обозначивши через z заданное значение выхода y и припуская, что , получим
Приняв во внимание, что А=В
Если при компенсации возмущений и заданий учесть «стоимость» управления, записавши критерий в виде
,
то компенсаторы (оптимальные) определяются зависимостями
Значение выхода при действии возмущения f в системе без компенсаторов при z=0
а также с оптимальным компенсатором.
2.3 Конструирование регулятора с компенсатором взаимосвязей
Проверим, или регулятор действительно расцепляет систему, т.е. матрица передаточных функций является диагональной
Используя V как новый вход можно далее записать
Регулятор выхода можно записать в виде
2.4Конструирование апериодического регулятора
Апериодический регулятор для дискретной системы может быть получен: из условия . Запишем
2.5 Конструирование децентрализованногорегулятора
Используя форму Ассео, запишем:
Следовательно, получим
Для определения критерия
2.6 Конструирование надежного регулятора
Если матрица G моделирует отказы каналов измерения, то регулятор находится в виде
Берем s=0.04 При этом значении выполняются необходимые условия:
s>
Результат решения уравнения Ляпунова первого типа
Коэффициент передачи надежного регулятора
Поверим систему с регулятором на устойчивость
Следовательно, система является постоянной при любых отклонениях.
2.8 Конструирование регулятора для билинейной модели
Билинейный регулятор определяется по следующей зависимости
Вводя все компоненты в уравнение, получаем:
2.9Конструирование регулятора для нелинейной модели
Сконструировать нелинейный регулятор, используя начальную неупрощенную модель бака.
Расчетное соотношение для регулятора -
e=z - x
2.10 Конструирование программного регулятора
Используя линеаризованную модель в дискретном времени, записать программу перевода системы из состояния в состояние
;
3.Анализ свойств сконструированной системы с оптимальным П регулятором
3.1 Построить процесс в системе с П. регулятором
Для построения процесса графика необходимо пользоваться следующую формулу
В итоге получаются следующие графики переходных процессов. Для сравнения приведены переходные процессы для систем без компенсаторов (штрихованная линия)
Рисунок 17 - Сопоставление качеств переходного процесса первого и второго выхода с компенсатором и без него.
Из графика видно, что система выходит на установившееся значение раньше если на ней стоит компенсатор.
3.2Вычислитькритерий оптимальности в системе
Величина критерия с удельным регулятором вычисляется
Отклонение параметров на 10 процентов
Отклонение параметров на 5 процентов
Матрицы чувствительности будут рассчитаны в пункте 3.4:
В конечном счете, получаем
3.3 Оценитьпотерю качества от децентрализации
Коэффициент передачи децентрализованного регулятора найден в пункте 2.5
Для определения критерия
3.4 Вычислить чувствительностьсистемы
dJ/dA, dJ/dВ, dJ/dС, dJ/dК для системы (А1,В, С), где А1=А+В*К, К=*Р.
Матрицы А1 и P (решение уравнения Риккати) Pлп (решение уравнения Ляпунова ) рассчитывались ранее
Для расчета матрицы V следует решить уравнение Ляпунова вида:
А1*V+V* А1+I=0
Таким образом :
; ;
Все необходимые составляющие для расчета чувствительности у нас есть:
dJ/dA=2•P•V==;
dJ/dВ=2•P•V•=;
dJ/dС=2•••P•V+2••K•V=;
dJ/dК=2•K•V+2••P•V=
3.5 Анализ робастности системы с надежным регулятором
Матрицы отклонения начальной системы
То есть аа=0.0081;bb=0.0289;cc=0.004.
Подставляя значения, полученные в пункте 2.6
в уравнение Scherzinger найдем из нее новую матрицу
Т.к. определенная матрица положительно определенная
то сконструированная система робастная поэтом стационарная и при изменении параметров в расчетных диапазонах величина критерия изменяется очень мало.
3.6 Решение обратной задачи конструирования
Записав расцеплояющей регулятор в виде
Далее используя соотношение
где W - произвольная матрица выбирается из условия S>0
В конечном счете, получаем
4. Результат вспомогательных расчетов
1.Решение уравнения Риккати первого типа
Заданы матрицы
Сформируем матрицу М
Найдем ее собственные значения
Выполним преобразование подобия
Решение уравнения Риккати
2.Решение уравнения Ляпунова
3. Вычисление матричной экспоненты
4.Опеделение Фробениусовой матрицы
5. Определение Вандермодовой матрицы
Выводы
Исследован технический объект - смесительный бак. Получен спектр модели: линейная, нелинейная, экспериментальная и аналитическая модель. Проведены эквивалентное аппроксимационое преобразование модели агрегата
Исследованы качественные и количественные свойства системы. Разработаны регуляторы управления объектом: П. - регулятор;
апериодический регулятор; надежный регулятор; блочно - иерархический регулятор; регулятор для билинейной и для нелинейной модели; программный регулятор; регулятор с компенсатором взаимосвязей. А также компенсаторы возмущений и компенсаторы на задании.
Проанализированы процессы в сконструированной системе с регулятором в качественном и количественном отношении (построен процесс в системе с регулятором, вычислен критерий оптимальности, проанализирована робастность, решена обратная задачи конструирования ).
На основании данного анализа можно сделать вывод о том, что наиболее подходящим регулятором для рассмотренной системы является оптимальный П. - регулятор. Хотя он и обладает некоторым перерегулированием, имеет небольшую статическую ошибку (при отсутствии компенсатора на задание), однако все эти недостатки компенсируются его простотой в установке и обслуживании. Помимо этого он обладает наименьшим временем переходного процесса, неплохим показателем критерия оптимальности. В силу своей простоты он является более надежным в том плане, что вероятность выхода из строя самого регулятора мала.
Литература
1. Стопакевич А.А., Методические указания к практическим занятиям по курсу « Основы системного анализа и теория систем » для бакалавров по автоматики. - Одесса: ОНПУ, 1997.