1) Найти передаточную функцию разомкнутой системы W(s) и передаточную функцию замкнутой системы Ф(s), ;
2) Построить область устойчивости системы в плоскости общего коэффициента передачи К=К1К2К3и постоянной времениТ2 при заданных значения Т1 и Т3. Найти граничное значение при заданном значении Т2, при котором система выходит на границу устойчивости.
3) Построить графики логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик L(w)и ?(w)при значении коэффициента передачи K=0,7K'.
4) Оценить запасы устойчивости по модулю ?Lи фазе ??, величину ошибки по скорости еск при v(t)=v1tи f= 0, время переходного процесса tp и перерегулирование ? в исходной системе при K=0,7K'.
5) Если исходная система не удовлетворяет заданным в таблице 1 показателям качества tp, ?, еск (хотя бы одному из них) или имеет малые запасы устойчивости, то провести коррекцию системы (последовательного или параллельного типа) и найти передаточную функцию корректирующего устройства.
6) Вычислить в скорректированной системе переходный процесс на выходе y(t) при подаче на вход единичной ступенчатой функции v(t)=1(t)(f= 0). Найти tp, ? по переходному процессу и сравнить их с требуемым по заданию.
Исходные данные:
Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ представлена на рис. 1.1, где v(t)-управляющее воздействие, (f)- возмущающее воздействие, е(t)- сигнал ошибки, y(t)-выходной сигнал. Значения параметровТ1Т2,Т3заданы в табл. 1. Размерность Т1Т2,Т3в секундах, общий коэффициент передачи К=К1К2К3имеет размерность 1/с, в табл. 1 заданы также желаемые показатели качества системы: максимальная ошибка по скорости ескпри скачке по скорости v(t)=v1tи f= 0, время переходного процесса tп.пв секундах, и перерегулирование у в процентах.
Таблица 1. Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ
Номер
варианта
v1
еск
tп.п
?
Т1?
Т2?
Т3
10
1,4
0,04
2,5
10
0,33
1,9
5
Рисунок 1.1
Выполнение:
1. Требуемые передаточные функции находят с использованием правил структурных преобразований. Коротко сформулируем основные правила:
Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются.
Передаточные функции параллельно соединенных звеньев складываются.
Передаточная функция системы с обратной связью - это передаточная функция замкнутой системы, которая определяется по формуле:
(по условию)
Передаточная функция разомкнутой системы W(s)= Y(s)/U(s)при f= 0, e=u(т.е. разомкнута главная обратная связь) определится выражением:
где обозначим К=К1К2К3,
0,03135
1,12127
5,223
Главная передаточная функция или передаточная функция замкнутой системы при f = 0:
Передаточная функция по ошибке при f= 0, которая позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии:
Передаточная функция по возмущению при и=0 позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал:
2.. Передаточная функция разомкнутой исходной системы имеет вид W(s)=K/sL(s),где L(s)=(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1).Характеристическое уравнение замкнутой системы будет D(s)=K+L(s)s=b0s4+b}s3+b2s2+b3s+b4=0, где при заданных из таблицы исходных данных числовых значениях Т1 и Т3коэффициенты bjбудут зависеть от параметров КиТ2.Применение критерия Гурвица к характеристическому уравнению четвертого порядка дает следующие условия устойчивости:
b3(b1b2-b0b3)-b4b12> 0, b,>0, i=0,...,4.
Приравнивая в написанных соотношениях правые части нулю, найдем зависимость Кот Т2и построим в плоскости Ки Т2границы устойчивости, ограничивающие некоторую область устойчивости. При заданном параметре Т2находим граничное значение КГРкоэффициента передачи К.
К=К1К2К3
b0==0,165=с0
5,033 с0
b3=1 b4=K
Выразим К через параметр Т2:
Зависимость К(Т2) приведена на рис. 1.2
Рис.1.2
Kгр=KT2=0.19=4,633
3. Полагая К=0.7КГР,записываем аналитическое выражение для ?(w)= argW(jw), L(w)= 20lg|W(jw)|из W(s)при s=jw.
К=0.7Кгр= 3,243
Передаточную функцию разомкнутой системы можно записать в виде:
где
тогда:
где
Строим графики логарифмических характеристик разомкнутой системы, с помощью MATLAB (оператор bodeили margin)Рис. 1.3 а.
Рис. 1.3а
Строим график АФЧХ с помощью MATLAB (оператор nyquist)рис. 1.3 б для разомкнутой системы.
Рис 1.3 б
Запасы устойчивости по модулю и фазе определяются по логарифмическим характеристикам (см. рис. 1.3 а): на частоте среза wсопределяется запас по фазе --??, а запас по амплитуде ?L-на частоте при которой ?(w) = -180. Таким образом, ?L?0. 1дБ,??? 0°, что является недостаточным.
4. Величина ошибки по скорости определяется как eск=V1/K.Для ориентировочной оценки tпп и ? следует построить переходной процесс h(t)(оператор step в MATLAB) при v(t)= 1[t]и по нему определить tпп и ?.
Для получения уравнений состояний в нормальной форме используем дифференциальное уравнение замкнутой системы
D(s)y(t)=Kv(t). Если D(s)=b0s4+b1s3+b2s2+b3s+b4=0, ,то уравнение состояния имеет вид
Для описания динамических систем в пространстве состояний в Matlab применяются модели подкласса ss, которые основаны на линейных дифференциальных или разностных уравнениях.
Модель непрерывной системы в подклассе ss имеет вид:
где: х - вектор состояния;v- вектор входа; у - вектор выхода.
Для формирования моделей в подклассе ss предназначена функция ss
sys=ss(A,B,C,D)
В результате под именем sys получаем ss-объект с числовыми характеристиками в виде четверки матриц {А, В, С, D}, которые должны иметь согласованные размеры. Матрицу D в данном случае полагаем равной 0.
Для построения переходного процесса h(t)воспользуемся оператором step в MATLAB.
В результате получим графики представленные на рис. 1.4. Нас будетинтересовать Out(l). Величина ошибки по скорости определяется как:
еск=V1/K= 1,4/3,243 = 0,432>ескзад = 0,04.
Для ориентировочной оценки tnn и оследует построить переходной процесс h{t)(оператор step в MATLAB) при v(t)=1(t) и по нему определить tпп и ?. Эти величины из графика Out(l) определяются следующим образом:
Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: ?уст=v(t)/(l+K), где v(t)=l[t], а К=3,243 - общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда еуст= 1/(1+3,243)=0,236 и следовательно tпп из графика Out(l) tпп?50с > tппзад= 2.5с.
Рис1.4
Таким образом, исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать.
5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. В случае применения частотных методов синтеза коррекции строится желаемая ЛАЧХ Lж(w). В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/s в системе) требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношения Kz=v1/eск=1,4 / 0.04 = 35. На частоте среза желательно иметь наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далее среднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой с наклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемой и исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.
Учет требований качества переходного процесса: tпп и ?, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области Lж(w).Здесь можно воспользоваться графиком (рис. 1.5).
Рис 1.5
По графику рис. 1.5 для заданных значений у и tnnнаходим wп, и затем из соотношения wc= (0.6 -0.9) wп, частоту среза wc.
В наше случае: (как показано на рис.1.5) для у =10%, tр=3?/?п,откуда для tрзначение?п=3?/1,5=6,81/си ?c=51/с.
Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.6) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на 20 дБ/дек(протяженность участка около декады). Тогда, выберем L2?10дБ на частоте ?2=(0.1-0.5)?с=2.5<?с=5 и L3?-10 дБ на частоте ?3=25 ? ?с=5. Введем обозначения:
Величину ?1 найдем из условия равенства значений Lж(?1)=Lисх(?1). Это
соотношение приводит к следующему выражению:
В последнем выражении обозначено:
?'=0.1w2
L'(?')=50дБ
L'(?2)=10дБ
L(?3p)=L(0.476)=21,18дБ
L(?2)=L(1.2)=-35,743дБ
Последние две величины находятся из выражения для Lисх(w).
Найденное по формуле значение ?1=0.098
ЛАЧХ корректирующего устройства с характеристикой Lk(w)соответствует функция:
где:
Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид:
Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где z и р - векторы из нулей и полюсов, a Kd - обобщенный коэффициент передачи, sys - любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlab примет вид:
6. Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд:
Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl - находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет).
>>Zam_ck=inv(1+sys1)*sys1
Переходная характеристика (рис. 1.7 ) находится с помощью функций: 0,05
Из рассмотрения рис. 1.7 видно, что параметры по заданию выполняются.
Рис 1.7
Для устранения неоптимальности записи в Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl можно в диалоговом режиме произвести новую запись zpk(.) - сокращая одинаковые элементы числителя и знаменателя в Zam_ck.
1) Найти передаточные функции импульсной САУ: W*(z)разомкнутой системы, Ф*(z) - замкнутой системы, Фе*(z) - системы по ошибке. Параметры Т, Т1, ?1, К0, ? входят в выражения передаточных функций в общем виде, т. е. в буквенном виде. Знак «*» будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.
2) Найти интервал изменения коэффициента передачи К0, при котором система будет устойчива: K0”?K0?K'. Для дальнейших исследований выбрать значение K0=0.5K0'
3) Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L*(?)и ?*(?)при заданных значениях Т, Т1, ?1, ? и выбранном K0. По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю ?L* и фазе ??*.
4) Определить ошибку системы по скорости еск при входном воздействии v(t)=t (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок с0 и с1.
5) Вычислить переходной процесс в системе при воздействии v(t)=1[t] (скачок по положению.
Исходные данные:
Таблица 2. Анализ одноконтурного замкнутого импульса
Номер
варианта
?
T
T1
?1
10
0.3
0.1
0.1
0,05
Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью ?=?Т, где Т -период дискретизации, 0???1. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2. Передаточная функция непрерывной части имеет вид:
Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией:
Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т1, ? -постоянные времени имеют размерность секунды, К0 - коэффициент передачи НЧ имеет размерность сек-1и выбирается далее.
Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы
1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W*(z) находим передаточную функцию приведенной непрерывной части:
К W(s)применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы W*(z)= Z{W(s)}. Преобразуем W0(s) к виду:
Представим W0(s) в виде суммы двух слагаемых
Применим к W0(s)Z-преобразование
Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:
где обозначено
Передаточные функции замкнутой системы находятся по выражениям:
2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = l + W*(z) = 0, которое для нашего случая будет иметь вид:
В соответствии салгебраическим критерием замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств
В неравенстве при известных значениях ?, Т, ?1, Т1входит величина К0. Таким образом, можно выделить отрезок значений К0"<К0<К0,при которых система будет устойчива и далее принять К0= 0.5К'0. Условия устойчивости будут:
После преобразований и возврата к старым переменным получим:
Получим 0<К0<7,112. Таким образом, принимаем К0=0.5К0'=3,56.
1. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W*(z) делаем замену переменной
В результате этого получим частотную характеристику W*(j?) и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L*(?)=20Lg|W*(j?)|и фазочастотную характеристику ?*(?)=argW*(j?),графики которых строятся в логарифмическом масштабе.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
Тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд в MATLAB:
>> sys=tf([0.231 0.085],[1 -(1/2.71+1) 1/2.71],1)
Transfer function:
0.231 z + 0.085
---------------------
z^2 - 1.369 z + 0.369
>> sys_tr=d2c(sys,'tustin')
Transfer function:
-0.05332 s^2 - 0.1242 s + 0.4616
--------------------------------
s^2 + 0.9218 s + 2.047e-016
(опция 'tustin' предназначена для преобразования )
Получаем выражение:
где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.
Рис 2.2
4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию:
В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная есквычисляется по формуле:
и следовательно,еск=1,999.
Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С0 =0, а коэффициент ошибки
Где передаточная функция системы по ошибке.
Тогда получим производную:
Подставив в последнее выражение найденные ранее значения и z=1, окончательно получим С1=1,999.
5. При входном воздействии вида v(k)= l[k] переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf-или zpk-форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2dпри заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step.Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы -bode.Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде:
и периодом дискретизации ?T, то получим
>> w0=tf([0.3 1 0],[0.3 1 1.411]) Transfer function:
0.1 s^2 + s
-------------------
0.1 s^2 + s + 3.738
0.2
>> w1=c2d(w0,0.24)
Transfer function:
z^2 - 0.8801 z - 0.1199
------------------------
z^2 - 0.4001 z + 0.09072
Sampling time: 0.24
>> step(W1)
Рис 2.3
На рис.2.4 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретной системы с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.
Рис. 2.4
3.Исследование нелинейной непрерывной системы автоматического управления
Задание:
Используя метод гармонической линеаризации нелинейного элемента, определить на основе частотного способа возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе, их устойчивость, амплитуду и частоту.
Исходные данные:
Структура нелинейной САУ представлена на рис. 3.1, где НЭ-- нелинейный элемент, W(s)- передаточная функция непрерывной линейной части системы.
Рис 3.1
1. Передаточная функция W0(s)берется из пункта 1, как передаточная функция скорректированной системы с соответствующими числовыми коэффициентами. Нелинейный элемент НЭ имеет нелинейную характеристику u=f(e) которая для всех заданий является характеристикой идеального реле:
где с=2.
Приближенная передаточная функция нелинейного элемента для случая идеальное реле имеет вид:
где a - амплитуда искомого периодического режима, а>0.
2. На комплексной плоскости строим характеристику:
Это прямая, совпадающая с отрицательным отрезком действительной оси, вдоль которой идет оцифровка по амплитуде а0= 0, a1,a2,…. В том же масштабе на комплексной плоскости строится АФЧХ разомкнутой системы W0(jw)при изменении частоты от 0 до + inf.
Передаточная функция скорректированной системы:
На рис.3.2 (выделен интересующий фрагмент) пунктиром отмечена АФЧХ
рис.3.2
Точка пересечения кривых (-0,165; -0j).
В точке пересечения АФЧХ W0(jw)и прямой по графику W(jw)находятся частота искомого периодического (гармонического) режима w=w*, а на прямой в точке пересечения его амплитуда а=а*. Тогда в системе существуют периодические колебания:
Приравнивая Im(W0(jw))=0 находим w*=1,065 (функция fsolve). При найденном значении частоты получим Re(W0(jw*))=-1,3. Из условия Re(W0(jw*))= находим а*=0.41.
Для определения устойчивости периодического режима можно воспользоваться следующим правилом: если при увеличении амплитуды авдоль кривой пересечение АФЧХ W0(jw)происходит «изнутри наружу», то такой периодический режим будет устойчивым, т.е. в системе существуют автоколебания с частотой w* и амплитудой а*.
Таким образом, периодический режим будет устойчивым.
Литература
1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.1:
Линейные непрерывные системы : учеб.-метод. Пособие /В.П.Кузнецов,С.В.Лукьянец,М.А.Крупская.-Мн.:БГУИРб2007.-132с.
2. Кузнецов В.П. Линейные непрерывные системы: Тексты лекций по курсу: Теория автоматического управления.-Мн.:БГУИР,1995.-180с.
3. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.1: Линейные непрерывные системы./ В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская- Мн.:БГУИРб2006.
4. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.2:Дискретные,нелинейные, оптимальные и адаптивные системы /С.В. Лукьянец, А.Т.Доманов,В.П.Кузнецов.М.А.Крупская-Мн.:БГУИР,2007.
5. Кузнецов А.П. Линейные импульсные системы: Математическое описание: Тексты лекций по курсу «Теория автоматического управления»б-Мн.:БГУИР,1996.-70с.