1.3 Построение графа переходов абстрактного автомата
1.4 Минимизация абстрактного автомата
2. Структурный синтез конечного автомата
2.1 Кодирование состояний, входных и выходных сигналов
2.2 Формирование функций возбуждения и выходных сигналов структурного автомата
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Теория автоматов - это теория, на которой основаны экспериментальные методы исследования в кибернетике. При подходе к теории автоматов, как к части теории алгоритмов, центральной проблемой является изучение возможностей автоматов в терминах множеств слов, с которыми работают автоматы.
Можно выделить два основных аспекта работы автомата.
1. Автоматы-распознаватели, которые распознают входные слова, т.е. отвечают на вопрос, принадлежит ли поданное на вход слово данному множеству.
2. Автоматы-преобразователи, которые преобразуют входные слова в выходные, т.е. реализуют автоматные отображения.
Одной из задач теории автоматов является задача описания автомата и его реализации, т.е. представления автомата как структуры, состоящей из объектов фиксированной сложности. В этом отношении теория автоматов оказалось наиболее развитой ветвью теории алгоритмов.
Общая теория автоматов подразделяется на абстрактную теорию и структурную теорию автоматов. Абстрактная теория автоматов занимает промежуточное положение между алгеброй и логикой. С точки зрения приложений значение абстрактной теории автоматов отнюдь не сводится к удовлетворению запросов одной лишь вычислительной техники. Современная теория автоматов представляет собой математический аппарат для решения широкого класса комбинаторных проблем.
Структурная теория автоматов позволяет реализовать абстрактный автомат на элементах, принадлежащих к заранее заданному классу.
Для преобразования дискретной информации в различных областях техники используются цифровые автоматы. К цифровым автоматам относятся отдельные узлы и блоки специализированных и универсальных ЦВМ и ЦВМ в целом. Цифровыми автоматами могут быть названы также устройства, в автоматике, телемеханике, радиолокации и других областях техники, в которых требуется выполнять преобразование над сигналами, представленные в дискретной (цифровой) форме.
Первое правило функционирования автоматов заключается в следующем. Автомат необязательно должен запоминать входные истории. Вполне достаточно, чтобы автомат запомнил класс эквивалентностей, к которому приходится данная история.
Второе правило функционирования автоматов состоит в том, что на один и тот же входной сигнал конечный автомат может реагировать по-разному, в зависимости от того, в каком состоянии он находится в настоящий момент.
Конечный автомат - это устройство, работающее в дискретные моменты времени, или такты. На вход конечного автомата в каждом такте поступает один из возможных входных сигналов, а на его выходе появляется выходной сигнал, являющийся функцией его текущего состояния и поступившего входного сигнала.
Внутренние состояния автомата также меняются. Моменты срабатывания (такты), определяются либо принудительно тактирующими синхросигналами, либо асинхронно, наступлением внешнего события, то есть приходом сигнала.
Существует два вида реализации конечного автомата - аппаратная и программная. В первую очередь, реализация конечного автомата требует построения устройства памяти для запоминания текущего состояния автомата. Обычно используются двоичные элементы памяти, или триггеры, запоминающие значение одного двоичного разряда.
1. АБСТРАКТНЫЙ СИНТЕЗ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА
1.1 Формирование алфавитного оператора
Для определения параметров задания необходимо ввести первичную информацию:
- порядковый номер в журнале;
- год поступления;
- номер группы;
Для данного задания это соответственно:
21, 08, 02.
Из этих цифр необходимо составить правильную десятичную дробь, в которой эти цифры следуют сразу после запятой:
Y1= 0,210802
Вторичная информация Y,Y3 ,Y4 получаются путем возведения 1 в степени 2, 3, 4 и удалением в дроби всех нулей между запятой и первой значимой цифрой.
Y2 = 0,444374
Y3 = 0,93675
Y4 = 0,19747
Для получения значений входных и выходных сигналов автомата необходимо полученные десятичные дроби преобразовать в двоичный код до шестнадцатого знака.
В результате преобразований получены следующие значения заданных сигналов.
Y1 = 0011010111110111
Y2 = 0111000111000010
Y3 = 1110111111001110
Y4 = 0011001010001101
Полученные значения записываются в столбцах: первые 8 значений в левой части, вторые 8 - в правой части. Алфавитный оператор соответствия представлен в таблице 1.
Таблица 1. Алфавитный оператор соответствия
Входные сигналы
Выходные сигналы
0010
1111
0110
1110
1111
1000
1101
1000
0010
0011
1010
1011
0011
1110
1110
1001
1.2 Приведение оператора к автоматному виду
Для того чтобы оператор преобразовался к автоматному виду, необходимо выполнение трех условий:
1. Любым двум одинаковым начальным отрезкам входных слов должны соответствовать одинаковые начальные отрезки выходных слов;
2. Длина входного слова должна равняться длине выходного слова;
3. Последний символ должен возвращать автомат в начальное состояние.
Данный оператор уже выровнен, так как длина каждого из входных слов равна длине соответствующего выходного слова. Каждому входному слову здесь сопоставляются не более одного выходного слова, поэтому оператор однозначен. Однако он не удовлетворяет условию полноты.
Таким образом, автоматный вид оператора примет, следующий вид:
Таблица 2. Автоматный вид
Входные сигналы
Выходные сигналы
0010
1111
0110
1110
1111
1000
1101
1000
00100000
11110011
1010
1011
0011
1110
1110
1001
1.3 Построение графа переходов абстрактного автомата
Построим по таблице 2 граф переходов автомата. При этом предполагается, что последний символ каждого входного слова должен переводит автомат в начальное состояние.
Граф переходов абстрактного автомата представлен в приложении 1.
1.4 Минимизация абстрактного автомата
По графу переходов построим таблицу переходов-выходов заданного автомата (таблица 3).
Таблица 3. Таблица переходов-выходов автомата
a(t-1)
0
1
a0
a1/1
a2/1
a1
a3/1
a4/1
a2
a10/0
a11/0
a3
-
a5/1
a4
-
a6/1
a5
a8/1
a9/0
a6
a8/0
-
a7
a0/-
a0/-
a8
a0/-
a0/-
a9
a0/-
a0/-
a10
-
a12/1
a11
a14/0
a15/0
a12
a13/1
-
a13
a0/-
a0/-
a14
-
a16/0
a15
a17/1
a18/0
a16
a0/-
a0/-
a17
a0/-
a0/-
a18
a0/-
a0/-
Один из алгоритмов минимизации полностью определенных автоматов заключается в следующем. Множество состояний исходного абстрактного автомата разбивается на попарно пересекающиеся классы эквивалентных состояний, далее каждый класс эквивалентности заменяется одним состоянием. В результате получается минимальный автомат, имеющий столько же состояний, на сколько классов эквивалентности разбиваются исходные состояния автомата.
0 класс эквивалентности:
a0, a1
b0
a2, a11
b1
a14
b2
a3, a4, a10
b3
a5, a15
b4
a6
b5
a7, a8, a9, a13, a16, a17, a18
b6
a12
b7
1 класс эквивалентности:
a0
c0
a1
c1
a2
c2
a3
c3
a4
c4
a5, a15
c5
a6
c6
a10
c7
a11
c8
a12
c9
a14
c10
a7, a8, a9, a13, a16, a17, a18
c11
2 класс эквивалентности:
a0
d0
a1
d1
a2
d2
a3
d3
a4
d4
a5, a15
d5
a6
d6
a10
d7
a11
d8
a12
d9
a14
d10
a7, a8, a9, a13, a16, a17, a18
d11
Из разбиения видно, что классы 1 и 2 совпадают, значит, продолжать не имеет смысла.
Таблица переходов-выходов минимизированного автомата представлена в таблице 4:
Граф переходов минимизированного автомата представлен в приложении 2.
2. СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА
2.1 Кодирование состояний, входных и выходных сигналов
Для кодирования состояний, входных и выходных сигналов конечного автомата, необходимо вычислить число элементов памяти:
а) рассчитаем число элементов памяти: Н = ] log2h [, где h - число состояний после минимизации D = {}
H = ] log2 12 [ = 4
б) рассчитаем число входных (L) и выходных (М) шин: L = ] log2n[
М =] log2m [,
где n, m - число букв входного и выходного алфавитов
Z = {0, 1} L = ] log2 2 [ = 1
W = {0, 1} M = ] log2 2 [ = 1
Из приведённого выше следует, что для кодирования состояний необходимо 4 элемента памяти, обозначим их Q0, …, Q3. Закодируем состояния (таблица 5) случайными кодами.
Таблица 5. Таблица кодированных состояний
d(t-1)
Q0
Q1
Q2
Q3
d0
0
0
0
0
d1
0
0
0
1
d2
0
0
1
0
d3
0
0
1
1
d4
0
1
0
0
d5
0
1
0
1
d6
0
1
1
0
d7
0
1
1
1
d8
1
0
0
0
d9
1
0
0
1
d10
1
0
1
0
d11
1
0
1
1
2.2 Формирование функций возбуждения и выходных сигналов структурного автомата
D-триггер - элемент задержки - имеет один информационный вход D и один выход Q и осуществляет задержку поступившего на его вход сигнала на один такт. Состояние, в которое переходит триггер, совпадает с поступившим на его вход сигналом D(t).
Таблица 6. Таблица переходов, выходных сигналов и сигналов возбуждения D-триггеров
Номер перехода
Исходное состояние
Код исходного состояния
Следующее состояние
Код следующего состояния
Входной набор
Выходные сигналы
Сигналы возбуждения
0
1
D3
D2
D1
D0
1
d0
0000
d1
d2
0001
0010
0
1
d00
d01
d01
d00
2
d1
0001
d3
d4
0011
0100
0
1
d10
d11
d11
d10
d10
3
d2
0010
d7
d8
0111
1000
0
1
d20
d21
d21
d20
d20
d20
4
d3
0011
d5
0101
1
d31
d31
d31
5
d4
0100
d6
0110
1
d41
d41
d41
6
d5
0101
d11
1011
01
d50
d51
d50
d51
d50
d51
d50
d51
7
d6
0110
d11
1011
0
d60
d60
d60
d60
8
d7
0111
d9
1001
1
d71
d71
d71
9
d8
1000
d10
d5
1010
0101
0
1
d80
d81
d80
d81
d80
d81
10
d9
1001
d11
1011
0
d90
d90
d90
d90
11
d10
1010
d11
1011
1
d101
d101
d101
d101
12
d11
1011
d0
0000
-
-
-
-
-
-
-
Из таблицы следует, что выходные сигналы автомата Мили описываются следующими выражениями:
Функциональная схема автомата Мили на T-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 4.
Таблица 8. Таблица переходов и сигналов возбуждения RS-триггеров
Номер перехода
Сигналы возбуждения
R3
S3
R2
S2
R1
S1
R0
S0
1
d01
d00
2
d11
d10
d11
3
d21
d20
d21
d20
4
d31
d31
5
d41
6
d50
d51
d50
d51
d50
d51
7
d60
d60
d60
8
d71
d71
d71
9
d81
d81
d80
d81
10
d90
11
d101
12
-
-
-
-
-
-
-
-
Из таблицы следует, что сигналы возбуждения RS-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:
R3 = d81
S3 = d21 d50 d51 d60 d71 d90= d21 d5 d60 d71 d90
R2 = d50 d51 d60 d71= d5 d60 d71
S2 = d11 d20 d31 d81
R1 = d21 d31 d71
S1 = d01 d10 d41 d50 d51 d80= d01 d10 d41 d5 d80
R0 = d11
S0 = d00 d20 d60 d81 d101
Функциональная схема автомата Мили на RS-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 5.
Таблица 9. Таблица переходов и сигналов возбуждения JK-триггеров
Номер перехода
Сигналы возбуждения
J3
K3
J2
K2
J1
K1
J0
K0
1
d01
d00
2
d11
d10
d11
3
d21
d20
d21
d20
4
d31
d31
5
d41
6
d50
d51
d50
d51
d50
d51
7
d60
d60
d60
8
d71
d71
d71
9
d81
d81
d80
d81
10
d90
11
d101
12
-
-
-
-
-
-
-
-
Из таблицы следует, что сигналы возбуждения RS-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:
J3 = d21 d50 d51 d60 d71 d90= d21 d5 d60 d71 d90
K3 = d81
J2 = d11 d20 d31 d81
K2 = d50 d51 d60 d71= d5 d60 d71
J1 = d01 d10 d41 d50 d51 d80= d01 d10 d41 d5 d80
K1 = d21 d31 d71
J0 = d00 d20 d60 d81 d101
K0 = d11
Функциональная схема автомата Мили на JK-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 6.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе выполнения работы мной были закреплены знания о синтезе конечных автоматов и получена практика в построении комбинационных схем.
В данной работе мной было выполнено проектирование конечного автомата по алфавитному отображению с использованием канонического метода структурного синтеза автоматов. Построены граф переходов абстрактного автомата с 17 состояниями и таблицы переходов-выходов. Минимизация состояний автомата выполнена путем разбиения на группы эквивалентных между собой состояний. После чего был построен минимальный граф Мили с 11 состояниями. Выполнен структурный синтез конечного автомата. Построены функциональные схемы автомата Мили на D, T, RS и JK-триггерах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов (граф-схемы и автоматы). - 2-е изд., перераб. и доп. - Л.: Энергия, 1979. - 232 с., ил.
2. Дегтярев В.М., Ерош И.Л., Михайлов В.В. Проектирование цифровых автоматов.-Л.:ЛИАП, 1974г.
3. Козин И.В., Иванов Н.М., Лупал А.М. Проектирование управляющих автоматов по алфавитному отображению. Учебное пособие по курсовому проектированию/ЛИАП. - Л., 1991. - 82 с., ил.
4. Лупал А.М. Теория автоматов. Учебное пособие/СПбГУАП. - СПб., 2000. - 120 с., ил.
5. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. Учебник для вузов по спец. «Электронные вычислительные машины». - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. школа, 1980. - 336 с., ил.